Cách giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó - Toán 9

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

\(a{x^2} + bx + c = 0\),

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta  = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\).

- Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} =  - \frac{c}{a}\).

- Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).

Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} =  - 1,{x_2} =  - \frac{9}{5}\).