🔥 2K8 CHÚ Ý! MỞ ĐẶT CHỖ SUN 2026 - LUYỆN THI TN THPT - ĐGNL - ĐGTD

🍀 ƯU ĐÃI -70%! XUẤT PHÁT SỚM‼️

  • Bắt đầu sau
  • 06

    Giờ

  • 51

    Phút

  • 23

    Giây

Xem chi tiết

Các dạng toán về tích phân

Các dạng toán về tích phân

Quảng cáo

1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến

 

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

- Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận {x=at=u(a)=ax=bt=u(b)=b .

- Bước 2: Tính vi phân dt=u(x)dx.

- Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

- Bước 4: Tính tích phân baf(x)dx=bag(t)dt.

Ví dụ: Tính tích phân 302xx2+1dx.

Giải:

Đặt t=x2+1t2=x2+1 2tdt=2xdx.

Đổi cận {x=0t=1x=3t=2

Do đó: 302xx2+1dx=21t.2tdt=23t3|21=23(2313)=143.

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

- Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận {x=at=ax=bt=b.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u(t)dt.

- Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u(t)dt=g(t)dt.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức baf(x)dx=bag(t)dt

Ví dụ: Cho I=π201x2dx, nếu đặt x=sint thì:

A. I=210(1+cos2t)dt

B. I=101cos2t2dt

C. I=101+cos2t2dt

D. I=10cos2t12dt

Giải:

Đặt x=sintdx=costdt1x2=1sin2t=cos2t

Đổi cận {x=0t=0x=π2t=1

Suy ra

I=π201x2dx=10cos2tcostdt =10cos2tdt=101+cos2t2dt

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

 

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân nmf(x)ln(ax+b)dx  (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=ln(ax+b)dv=f(x)dx{du=aax+bdxv=f(x)dx

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức nmf(x)ln(ax+b)dx=uv|nmnmvdu

Ví dụ: Tính tích phân I=e1xlnxdx.

Giải: Đặt {u=lnxdv=xdx{du=dxxv=x22

Khi đó I=x2lnx2|e112e1x=e22x24|e1=e2+14

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân nmf(x)eax+bdx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=eax+bdx{du=f(x)dxv=1aeax+b

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức nmf(x)eax+bdx=uv|nmnmvdu

Ví dụ: Tính I=10(2x+3)exdx

Giải: Đặt {u=2x+3dv=exdx{du=2dxv=ex

Khi đó I=(2x+3)ex|10102exdx=(2x+3)ex|102ex|10=3e1.

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân nmf(x)sin(ax+b)dx hoặc nmf(x)cos(ax+b)dx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=sin(ax+b)dx{du=f(x)dxv=1acos(ax+b) hoặc {u=f(x)dv=cos(ax+b)dx{du=f(x)dxv=1asin(ax+b)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức nmf(x)sin(ax+b)dx=uv|nmnmvdu hoặc nmf(x)cos(ax+b)dx=uv|nmnmvdu

Ví dụ: Tính tích phân I=π40xsin2xdx

Giải: Đặt {u=xdv=sin2xdx{du=dxv=cos2x2.

Khi đó I=xcos2x2|π40+12π40cos2xdx=xcos2x2|π40+sin2x4|π40=14.

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân nmeax+bsin(cx+d)dx hoặc nmeax+bcos(cx+d)dx.

- Bước 1: Đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx  hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức nmudv=uv|nmnmvdu

Ví dụ: Tính K=π0excos2xdx

Giải: Đặt {u=cos2xdv=exdx{du=2sin2xdxv=ex

Suy ra K=(excos2x)|π0+2π0exsin2xdx=eπ1+2M

Tính M=π0exsin2xdx

Ta đặt {u1=sin2xdv1=exdx{du1=2cos2xv1=ex

Suy ra M=(exsin2x)|π02π0excos2x=2K

Khi đó K=eπ1+2(2K)5K=eπ1K=eπ15

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx  hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close