🍀 ƯU ĐÃI -70%! XUẤT PHÁT SỚM‼️
Giờ
Phút
Giây
Các dạng toán về tích phânCác dạng toán về tích phân Quảng cáo
1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x). - Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận {x=a⇒t=u(a)=a′x=b⇒t=u(b)=b′ . - Bước 2: Tính vi phân dt=u′(x)dx. - Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt. - Bước 4: Tính tích phân b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt. Ví dụ: Tính tích phân √3∫02x√x2+1dx. Giải: Đặt t=√x2+1⇒t2=x2+1 ⇒2tdt=2xdx. Đổi cận {x=0⇒t=1x=√3⇒t=2 Do đó: √3∫02x√x2+1dx=2∫1t.2tdt=23t3|21=23(23−13)=143. Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t). - Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận {x=a⇒t=a′x=b⇒t=b′. - Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u′(t)dt. - Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u′(t)dt=g(t)dt. - Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt Ví dụ: Cho I=π2∫0√1−x2dx, nếu đặt x=sint thì: A. I=21∫0(1+cos2t)dt B. I=1∫01−cos2t2dt C. I=1∫01+cos2t2dt D. I=1∫0cos2t−12dt Giải: Đặt x=sint⇔dx=costdt và 1−x2=1−sin2t=cos2t Đổi cận {x=0⇒t=0x=π2⇒t=1 Suy ra I=π2∫0√1−x2dx=1∫0√cos2tcostdt =1∫0cos2tdt=1∫01+cos2t2dt Chọn C. Chú ý: Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là: 2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phầnDạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit. Tính tích phân n∫mf(x)ln(ax+b)dx (trong đó f(x) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt {u=ln(ax+b)dv=f(x)dx⇒{du=aax+bdxv=∫f(x)dx - Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)ln(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu Ví dụ: Tính tích phân I=e∫1xlnxdx. Giải: Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=dxxv=x22 Khi đó I=x2lnx2|e1−12e∫1x=e22−x24|e1=e2+14 Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ. Tính tích phân n∫mf(x)eax+bdx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=eax+bdx⇒{du=f′(x)dxv=1aeax+b - Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)eax+bdx=uv|nm−n∫mvdu Ví dụ: Tính I=1∫0(2x+3)exdx Giải: Đặt {u=2x+3dv=exdx⇒{du=2dxv=ex Khi đó I=(2x+3)ex|10−1∫02exdx=(2x+3)ex|10−2ex|10=3e−1. Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức. Tính tích phân n∫mf(x)sin(ax+b)dx hoặc n∫mf(x)cos(ax+b)dx. (trong đó f(x) là hàm số đa thức) Phương pháp: - Bước 1: Đặt {u=f(x)dv=sin(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=−1acos(ax+b) hoặc {u=f(x)dv=cos(ax+b)dx⇒{du=f′(x)dxv=1asin(ax+b) - Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mf(x)sin(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu hoặc n∫mf(x)cos(ax+b)dx=uv|nm−n∫mvdu Ví dụ: Tính tích phân I=π4∫0xsin2xdx Giải: Đặt {u=xdv=sin2xdx⇒{du=dxv=−cos2x2. Khi đó I=−xcos2x2|π40+12π4∫0cos2xdx=−xcos2x2|π40+sin2x4|π40=14. Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ. Tính tích phân n∫meax+bsin(cx+d)dx hoặc n∫meax+bcos(cx+d)dx. - Bước 1: Đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx - Bước 2: Tính tích phân theo công thức n∫mudv=uv|nm−n∫mvdu Ví dụ: Tính K=π∫0excos2xdx Giải: Đặt {u=cos2xdv=exdx⇒{du=−2sin2xdxv=ex Suy ra K=(excos2x)|π0+2π∫0exsin2xdx=eπ−1+2M Tính M=π∫0exsin2xdx Ta đặt {u1=sin2xdv1=exdx⇒{du1=2cos2xv1=ex Suy ra M=(exsin2x)|π0−2π∫0excos2x=−2K Khi đó K=eπ−1+2(−2K)⇔5K=eπ−1⇔K=eπ−15 - Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt {u=eax+bdv=sin(cx+d)dx hoặc {u=eax+bdv=cos(cx+d)dx
Quảng cáo
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
|