🔥 2K8 CHÚ Ý! MỞ ĐẶT CHỖ SUN 2026 - LUYỆN THI TN THPT - ĐGNL - ĐGTD

🍀 ƯU ĐÃI -70%! XUẤT PHÁT SỚM‼️

Chỉ còn 2 ngày
Xem chi tiết

Các dạng toán về tích phân

Các dạng toán về tích phân

Quảng cáo

1. Một số dạng toán thường gặp áp dụng phương pháp đổi biến

 

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3  \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)

Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì:

A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $

B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t} $

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Suy ra

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t}  $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

 

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \)  (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} $

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Khi đó $I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x  = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Khi đó $I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}  = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.$

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} $

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..$

Khi đó $I =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx}  =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.$

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính $K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} $

Giải: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}  = {e^\pi } - 1 + 2M$

Tính $M = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx} $

Ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.$

Suy ra $M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x}  =  - 2K$

Khi đó $K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}$

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close