Giải bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12

LG a

$\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ (Đặt $u= x+1$) 

Phương pháp giải:

Đặt $u= x+1$ và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:

$\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u= x+1 \Rightarrow  du =  dx$ và $x = u - 1$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 3 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du} \\ = \left. {\left( {\frac{{{u^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} - 2.\frac{{{u^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{u^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}}} \right)} \right|_1^4\\= \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} - 4{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^4\\= - \frac{{11}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{5}{3}\end{array}$

LG b

$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx$ (Đặt $x = sint$ )

Phương pháp giải:

Đặt $x = sint$

Sử dụng công thức hạ bậc: ${\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$

Sử dụng công thức nguyên hàm: $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{{\sin \left( {ax + b} \right)}}{a} + C$

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = sint$, $0<t<\frac{\pi}{2}$. Ta có: $dx = costdt$

và $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}$$= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\end{array}$

LG c

$\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx$ (Đặt $u = 1 + x.{e^x}$)

Phương pháp giải:

Đặt $u = 1 + x.{e^x}$.

Lời giải chi tiết:

Đặt: $u= 1 + x.{e^x}$

$\Rightarrow du = 0+  \left( {{e^x} + x.{e^x}} \right)dx$$= {e^x}\left( {1 + x} \right)dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 1 + e\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{1 + e}\\= \ln \left( {1 + e} \right) - \ln 1 = \ln \left( {1 + e} \right)\end{array}$

LG d

$\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx$ (Đặt $x= asint$)

Phương pháp giải:

Đặt $x= asint$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{a}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{a.\cos t}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}\end{array}$.

Loigiaihay.com