Giải bài 1 trang 100 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a)  $e^{-x}$ và $-  e^{-x}$;        b) $\sin 2x$ và $\sin^2x$ 

c) ${\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}$ và $\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}$

Lời giải chi tiết

a) $e^{-x}$ và $-  e^{-x}$ là nguyên hàm của nhau, vì:

$({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)=  - {e^{ - x}}$  và $( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}$

b)  $sin^2x$   là nguyên hàm của $sin2x$, vì:

$\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' \\= 2sinxcosx = sin2x$

c) $\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của ${\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}$ vì:

${\left( {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{x^2}}}{e^x} + \left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x} = \left( {1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right){e^x} = {\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}.$

Loigiaihay.com