Bài 83 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

${\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)$

Phương pháp giải:

Nếu 0 < a < 1 thì:

${\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)$

$\Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\cr&\Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\,\,\, \cr  & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + x - 2 > 0 \hfill \cr  {x^2} - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < - 2\,\,\text { hoặc }\,\,x > 1 \hfill \cr  - \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 5 < x < - 2\\ 1 < x < \sqrt 5 \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right) \cup \left( {1;\sqrt 5 } \right)$

Cách trình bày khác:

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x - 2 > 0\\ x + 3 > 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < -2 \end{array} \right.\\ x > - 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ - 3 < x < - 2 \end{array} \right.$

Khi đó,

$\begin{array}{l} {\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5 < 0\\ \Leftrightarrow - \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \end{array}$

Kết hợp với (*) ta được 

$\left[ \begin{array}{l} 1 < x < \sqrt 5 \\ - \sqrt 5 < x < - 2 \end{array} \right.$

LG b

${\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0$

Lời giải chi tiết:

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l} 2 - x > 0\\ {x^2} - 6x + 5 > 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 2\\ \left[ \begin{array}{l} x > 5\\ x < 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x < 1$

Khi đó,

$\eqalign{ & {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge - {\log _3}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr  & \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge {\log _{{1 \over 3}}}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr  & \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {\left( {2 - x} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {x^2} - 4x + 4\cr&\Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \cr}$

$\Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}$

Kết hợp ĐK ta được ${1 \over 2} \le x < 1$             

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {{1 \over 2};1} \right)$

Loigiaihay.com