Bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình $107$, trong đó $ABCD$ là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác $EFGH$ là hình vuông. 

Lời giải chi tiết

Các tam giác vuông $AEH, BFE, CGF, DHG$ có:

$AE = BF = CG = DH$ (1) (giả thiết)

Theo giả thiết $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$  (2) (tính chất hình vuông)

Mà: $AH = AD - DH, BE = AB - AE,$$CF = BC - BF, DG = DC - CG$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AH = BE = CF = DG$

Suy ra $∆AEH =  ∆BFE =  ∆CGF$$=  ∆DHG$ (hai cạnh góc vuông)

Do đó

$\widehat{EHA} = \widehat{FEB}$ (4) (hai góc tương ứng bằng nhau)

$HE = EF = FG = GH$ ( các cạnh tương ứng)    

 $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)             

Xét tam giác $AHE$ vuông tại $A$ nên $\widehat{HEA}$ + $\widehat{EHA}=90^0$   (5)

Ta có:

$\widehat{HEF} + \widehat{HEA}$$+ \widehat{FEB}= 180^0$

Kết hợp với (4) và (5), ta có:

$\widehat{HEF} = 180^0- (\widehat{HEA}$ + $\widehat{FEB})$

           $= 180^0- (\widehat{HEA}$ + $\widehat{EHA})$

           $= 180^0- 90^0= 90^0$

$\Rightarrow$ Hình thoi $EFGH$ là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

Loigiaihay.com