Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^5;$ 

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx$ $\Rightarrow {x^2}dx = 6du$   

Do đó $\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx}$ $= \int {6{u^5}du }$ $= {u^6}  + C$ $= {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C$ 

LG b

$f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};$

Lời giải chi tiết:

Đăt $u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx$ $\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx =  - du$ 

$\Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx }$ $=  - \int {udu }$ $=  - {{{u^2}} \over 2} + C$ $=  - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C$ 

LG c

$f\left( x \right) = {x^3}{e^x};$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^3} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 3{x^2}dx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} }$

Tính ${I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)}$

Tính ${I_2} = \int {x{e^x}dx}$

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx }$ $=xe^x-e^x+C_2$ $= {e^x}\left( {x - 1} \right) + C_2$

Thay ${I_2}$ vào (2) ta được: ${I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) +C_1$ $= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C_1$

Thay ${I_1}$ vào (1) ta được : $I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)+C$ $= {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C$

LG d

$f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt {3x - 9}$ $\Rightarrow {t^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2tdt = 3dx$ $\Rightarrow dx = \dfrac{2}{3}tdt$

$I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{2}{3}t{e^t}dt}$ $= \dfrac{2}{3}\int {t{e^t}dt}$ (1)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\{e^t}dt = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int {t{e^t}dt}  = t{e^t} - \int {{e^t}dt}$ $= t{e^t} - {e^t} + {C_1} = \left( {t - 1} \right){e^t} + {C_1}$

Thay vào (1) ta được $I = \dfrac{2}{3}\left( {t - 1} \right){e^t} + C$ $= \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt {3x - 9}  - 1} \right){e^{\sqrt {3x - 9} }} + C$

  Loigiaihay.com