Bài 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$

Bốn tam giác vuông $EAH, EBF, GDH, GCF$ có:

$AE = BE = DG = CG$ ( = $\dfrac{1}{2}AB$ = $\dfrac{1}{2}CD$ )

$HA = FB = DH = CF$ ( = $\dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC$ )

Xét  $∆EAH$ và $∆EBF$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} A{\rm{E}} = BE\left( {cmt} \right)\\ \widehat A = \widehat B = {90^0}\left( {gt} \right)\\ AH = BF\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $EH = EF$ (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét  $∆HDG$ và $∆FCG$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} H{\rm{D}} = FC\left( {cmt} \right)\\ \widehat D = \widehat C = {90^0}\left( {gt} \right)\\ DG = CG\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $GH = GF$ (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét  $∆AHE$ và $∆DHG$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} H{\rm{A}} = HD\left( {cmt} \right)\\ \widehat A = \widehat D = {90^0}\left( {gt} \right)\\ AE = DG\left( {cmt} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow$ $EH = HG$ (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow  HE=EF = HG = GF$ 

$\Rightarrow$ $EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên) 

Cách khác:

* Xét tam giác $ABD$ có $E$ và $H$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$

Suy ra $EH$ là đường trung bình của tam giác

Từ đó $EH=\dfrac{BD}2$ (*)

Chứng minh tương tự ta có: $GF=\dfrac{BD}2$, $EF=\dfrac{AC}2$, $HG=\dfrac{AC}2$ (**)

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC=BD$ (***) (tính chất)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $EH=EF=HG=GF$

$\Rightarrow$ $EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Loigiaihay.com