Bài 76 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi $ABCD$, gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, AD$.

Ta có: $EB = EA, FB = FC$ (giả thiết )

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $EF // AC,EF=\dfrac{AC}2$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do $HD = HA, GD = GC$ (giả thiết )

$\Rightarrow$ $HG$ là đường trung bình của $∆ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $HG // AC,HG=\dfrac{AC}2$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EF // HG$ (cùng // $AC$)  và $EF=HG\,(=\dfrac{AC}2)$

Suy ra $EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: $EB = EA, AH = HD$ (giả thiết )

nên $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

$\Rightarrow$ $EH // BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có $EF // AC$ (chứng minh trên) và $BD ⊥ AC$ (tính chất hình thoi $ABCD$)

$\Rightarrow$ $BD ⊥ EF$

Mà $EH // BD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ $EF ⊥ EH$

$\Rightarrow$  $\widehat{FEH} = 90^0$

Hình bình hành $EFGH$ có $\widehat{E} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Loigiaihay.com