Bài 7.38 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a,OB = a\sqrt 2 \) và \(OC = 2a\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

Lời giải chi tiết

 

Ta có \(OA \bot OB\), \(OA \bot OC\)

\(\Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\), \(BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\).

Trong (OBC) kẻ \(OD \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right)\), \(BC \subset \left( {ABC} \right) \)

\(\Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

\(\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\).

Trong (OAD) kẻ \(OE \bot AD\)

\( \Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE\).

Xét tam giác OBC vuông tại O có:

\(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \)

\(= \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \)

\(\Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác OAD vuông tại O có:

\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} \)

\(= \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}}\)

\(\Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).