Bài 7.12 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), Tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAB) kẻ \(AD \bot SB\) tại D.

Vì \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\AB,SA \subset (SAB)\\AB \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AD\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\AD \bot SB\\BC,SB \subset (SBC)\\BC \cap SB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SBC)\).

Suy ra D là hình chiếu của A trên (SBC).

b) A là hình chiếu của S trên (ABC) \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\).

C là hình chiếu của C trên (ABC).

\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABC).

\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \)

\(\Rightarrow \widehat {SCA} = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).