Bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của \(BC\) lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)

a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân.

b) Kẻ \(BH ⊥ AM\) (\(H \in AM\)), kẻ \(CK ⊥ AN\; (K  \in  AN).\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)

c) Chứng minh rằng \(AH = AK.\)

d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC,\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh một tam giác là tam giác cân bằng cách chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau.

- Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau.

- Chứng minh tam giác là đều bằng cách chứng minh tam giác cân có một góc bằng \(60^o\).

Lời giải chi tiết

a) \(∆ABC\) cân tại \(A\), suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)   (1) 

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù)  (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét \(∆ABM \) và \(∆ACN \) có:

\(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

\(BM = CN\) (giả thiết)

\( \Rightarrow ∆ABM = ∆ACN\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

b) Xét hai tam giác vuông \(BHM\) (vuông tại \(H\)) và \(CKN\) (vuông tại \(K\)) có :

\(BM = CN\) (giả thiết)

\(\widehat M = \widehat N\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆BHM  = ∆CKN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu a) ta có tam giác \(AMN\) cân ở \(A\) nên \(AM = AN\) (*)

Theo câu b ta có \(∆BHM = ∆CKN\) nên suy ra \(HM = KN\) (2 cạnh tương ứng) (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: \(AH = AM – HM = AN – KN = AK\)

Vậy \(AH = AK.\)

d) \(∆BHM = ∆CKN\) suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (2 góc đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy \(∆OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC\) hình được vẽ lại như sau:

+ \(∆ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {60^o}\) nên là tam giác đều hay \(AB = BC = AC\).

Mặt khác: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)

Do đó: \(AB = BC = AC = BM = CN\). 

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}\)

Ta có \(\widehat {B_1}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABM\) nên \(\widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0\) (***)

Vì \(AB = BM\) (chứng minh trên) nên \(∆ABM\) cân tại \(B\) suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM}\)

Kết hợp với (***) ta có: \(\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o}\) .

Lại có \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\) .

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác \(AMN\) ta có:

\(\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o}  \)

\(\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

\( = {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}\)

Vậy \(∆AMN\) có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)

+ \(∆BHM\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat M = {30^o}\) nên \(\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M\)\(= 90^0-30^0={60^o}\) (tổng 2 góc nhọn của tam giác vuông bằng \(90^0\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o}\) (2 góc đối đỉnh)

\(∆OBC\) cân (theo câu d) có \(\widehat {{B_3}} = {60^o}\) nên \(∆OBC\) đều.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close