Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BD}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6;1; - 1} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)$.

Vì ${{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}$ nên $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {BC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử $D\left( {x;y;z} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \left( {x + 3;y + 2;z} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)$

ABCD là hình bình hành 

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 = 2\\ y + 2 = 3\\ z = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 1\\ z = 1 \end{array} \right.$

Vậy $D\left( { - 1;1;1} \right)$ .

Ta có $\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right)\,;$ $\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)$

Do đó:

$\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}}$ $= {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} =  - {1 \over 2}$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = 120^0$.

Chú ý:

Có thể tìm D theo cách khác như sau: 

Giả sử $D\left( {x;y;z} \right)$ thì $\overrightarrow {BD}  = \left( {x - 3;y + 3;z - 1} \right)$
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr  y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr  z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr} \right.$

Loigiaihay.com