Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $h$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là tâm của tam giác đều $ABC$.

$SH$ là đường cao của hình chóp đều $S.ABC$ nên $SH$ là trục của tam giác $ABC$.

Trong mặt phẳng $(SAH)$ gọi $O$ là giao điểm của đường trung trực $SA$ với $SH$ thì $O$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là $R = SO$.

Gọi $I$ là trung điểm của $SA$ thì tứ giác $AHOI$ nội tiếp nên:

$SO.SH = SI.SA$ $\Rightarrow SO = {{S{A^2}} \over {2SH}} = {{S{A^2}} \over {2h}}$

Mà $S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}$ $= {h^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{{a^2} + 3{h^2}} \over 3}$

Từ đó suy ra $R = SO = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}$

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là $V = {{\pi {{\left( {{a^2} + 3{h^2}} \right)}^3}} \over {162{h^3}}}$

LG b

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh cùng bằng $a$. Gọi $A’, B’, C’, D’$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh rằng các điểm $A, B, C, D, A’, B’, C’, D’$ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi $SH$ là đường cao của hình chóp đều $S.ABCD$ thì $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $SH$ đi qua tâm $H’$ của hình vuông $A’B’C’D’$.

Mọi điểm nằm trên $SH$ đều cách đều bốn điểm $A’, B’, C’, D’$.

Trên đường thẳng $SH$, ta xác định điểm $O$ sao cho $OA = OA’$ thì $O$ cách đều tám điểm $A, B, C, D, A’, B’, C’, D’$ tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm $O$, bán kính $R = OA$.

Điểm $O$ là giao điểm của đường thẳng $SH$ và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AA’$.

Ta có: $2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}$ nên tam giác vuông cân tại S suy ra $\widehat {ASO} = {45^0}$ do đó ASIO vuông cân tại I và $IS = IO = {{3a} \over 4}$.

Từ đó suy ra $R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}}$ $= \sqrt {{{9{a^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {10} } \over 4}$

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: $V = {4 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt {10} } \over 4}} \right)^3} = {{5\pi {a^3}\sqrt {10} } \over {24}}$

Loigiaihay.com