Bài 7 trang 27 SGK Hình học 10

Đề bài

Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)

\(A'\) là trung điểm BC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_{A'}} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\,\left( 1 \right)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(B'\) là trung điểm CA \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\{y_{B'}} = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_C} + {x_A}}}{2}\\4 = \frac{{{y_C} + {y_A}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 4\,\left( 3 \right)\\{y_C} + {y_A} = 8\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

\(C'\) là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_{C'}} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\,\left( 5 \right)\\{y_A} + {y_B} =  - 4\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (3) và (5) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 8\\{x_C} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\ - 8 - {x_B} + {x_A} = 4\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 8 - {x_B}\\{x_A} - {x_B} = 12\\{x_A} + {x_B} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{x_B} =  - 4\\{x_C} =  - 4\end{array} \right.\)

Từ (2), (4) và (6) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 2\\{y_C} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\2 - {y_B} + {y_A} = 8\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_C} = 2 - {y_B}\\{y_A} - {y_B} = 6\\{y_A} + {y_B} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 1\\{y_B} =  - 5\\{y_C} = 7\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {8;1} \right),B\left( { - 4; - 5} \right),C\left( { - 4;7} \right)\).

Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G(0;1)\)  (*)

Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\)

Khi đó ta có:

\(\left\{ \matrix{
{x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G'(0;1)\)  (**)

Từ (*) và (**) ta thấy \(G \equiv G'\)

Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Loigiaihay.com