Bài 6 trang 75 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC và AM = m. Tính tổng \(M{B^2} + M{C^2}\) theo m.

Lời giải chi tiết

Từ M kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC.

Dễ thấy\( \Rightarrow \)\(\Delta EBM\) vuông cân tại E, \(\Delta FMC\) vuông cân tại F và AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác EBM, FMC, AEF, ta có:

\(\begin{array}{l}M{B^2} = M{E^2} + B{E^2} = 2M{E^2}\\M{C^2} = M{F^2} + F{C^2} = 2M{F^2}\\ \Rightarrow M{B^2} + M{C^2} = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right)\,(1)\end{array}\)

Mà \(A{M^2} = E{F^2} = M{E^2} + M{F^2}\)(AEMF là hình chữ nhật)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow M{B^2} + M{C^2} = 2A{M^2} = 2{m^2}\)

Loigiaihay.com