Bài 6 trang 130 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Tìm các giá trị nguyên của $x$ để phân thức $M$ có giá trị là một số nguyên:

$M = \dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\ne \dfrac{3}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l} M = \dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}\\ = \dfrac{{10{x^2} - 15x + 8x - 12 + 7}}{{2x - 3}}\\ = \dfrac{{5x\left( {2x - 3} \right) + 4\left( {2x - 3} \right) + 7}}{{2x - 3}}\\ = \dfrac{{\left( {5x + 4} \right)\left( {2x - 3} \right) + 7}}{{2x - 3}}\\ = \dfrac{{\left( {5x + 4} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} + \dfrac{7}{{2x - 3}}\\ = 5x + 4 + \dfrac{7}{{2x - 3}} \end{array}$

Như vậy, $M = 5{\rm{x}} + 4$$\,+ \dfrac{7}{{2{\rm{x}} - 3}}$

Do $x$ nguyên nên $M$ có giá trị nguyên khi $\dfrac{7}{{2x - 3}}$ có giá trị nguyên.

Tức $2x - 3$ là ước của $7$ $\Rightarrow 2{\rm{x}} - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}$

+) $2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4  \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn đk)

+) $2x - 3 = -1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x =1$ (thỏa mãn đk)

+) $2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10  \Rightarrow x = 5$ (thỏa mãn đk)

+) $2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow  x = -2$ (thỏa mãn đk)

Vậy $x \in \left\{ { - 2;1;2;5} \right\}$

Loigiaihay.com