Bài 59 trang 92 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Hình thang $ABCD \,(AB//CD)$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O, AD$ và $BC$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $OK$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$.

Lời giải chi tiết

Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB, CD$ cắt $AD, BC$ lần lượt tại $E, F$.

Suy ra $AB//EF//CD$

Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.

Ta có: $OE // DC$ (gt) 

$\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)$ (hệ quả của định lí TaLet)

$OF // DC$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right)$ (hệ quả của định lí TaLet)

$OF // AB$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}}$ (3) (hệ quả của định lí TaLet)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

$\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF$

Ta có: $AB//EF$ (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có: 

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà  } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN \end{array}$

$\Rightarrow$ $N$ là trung điểm của $AB.$

Tương tự ta có: $EF // DC$ (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà  }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM \end{array}$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $CD$.

Vậy $OK$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. 

Loigiaihay.com