Bài 5.6 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng \(\alpha \) (H.5.3). Từ A kẻ \(A{A_1} \bot BC\), từ \({A_1}\) kẻ \({A_1}{A_2} \bot AC\), sau đó lại kẻ \({A_2}{A_3} \bot BC\). Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn \(A{A_1}{A_2}{A_3} \ldots \) Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và \(\alpha \)

Lời giải chi tiết

Độ dài đường gấp khúc tạo thành cấp số nhân với số hạng tổng quát là:

\({u_n} = sin\;\alpha \; \times h \times {\left( {sin\;\alpha \;} \right)^{n - 1}}\).

Độ dài đường gập khúc: \(A{A_1} + {A_2}{A_3} +  \ldots \).

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = sin\;\alpha \; \times h,\;q = sin\;\alpha \;\).

Nên \(A{A_1} + {A_2}{A_3} +  \ldots  = \frac{{sin\;\alpha \; \times h}}{{1 - sin\;\alpha \;}}\).