Bài 5 trang 8 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Giả sử  $x = \dfrac{a}{m}$; $y = \dfrac{b}{m}$ $\left( {a,\, b, \, m \in Z,\;m> 0} \right)$ và $x < y.$ Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn  $z =\dfrac{a + b}{2m}$ thì ta có $x < z < y.$

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có $x = \dfrac{a}{m}$; $y = \dfrac{b}{m}$ $\left( {a,\, b, \, m \in Z,\;m> 0} \right)$ 

Vì $x < y$ tức là $\dfrac{a}{m}<\dfrac{b}{m}$ nên ta suy ra $a < b.$

Quy đồng mẫu số các phân số ta được:

$x =\dfrac{2a}{2m}$,  $y =\dfrac{2b}{2m}$;$z = \dfrac{a + b}{2m}$

Vì $a < b \Rightarrow a + a < a +b \Rightarrow 2a < a + b.$

Do $2a< a +b$ nên $\dfrac{2a}{2m}<\dfrac{a + b}{2m}$ hay $x < z  \, \, \, \, (1)$

Vì $a < b \Rightarrow a + b < b + b \Rightarrow a + b < 2b.$

Do $a+b < 2b$ nên $\dfrac{a + b}{2m}< \dfrac{2b}{2m}$ hay $z < y \, \, \,   (2)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $x < z < y.$

Loigiaihay.com