Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr 
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Giải hệ pt đối xứng loại I:

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\)

- Giải hệ pt ẩn S, P.

Chú ý: Với \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\) thì x và y là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)

Lời giải chi tiết:

Hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + \left( {x + y} \right) = 8 \\
xy + \left( {x + y} \right) = 5
\end{array} \right.\)

Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr 
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} - 2(5 - S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr 
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr 
X = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)

ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:

S2 – 4P = 36 – 44 = -8 < 0

Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr 
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt x’ = -x, ta có hệ đối xứng loại I với ẩn (x';y)

Lời giải chi tiết:

Đặt x’ = -x, ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2 \hfill \cr 
- x'y - x' - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Đặt S = x’ + y;  P = x’y, ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 2 \hfill \cr 
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S - 2(1 - S) = 2 \hfill \cr 
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S - 4 = 0 \hfill \cr 
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr 
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 4 \hfill \cr 
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \) 

+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr 
X = 1 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x' = 0 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
x' = 1 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
- x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
- x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 – 4P < 0

LG c

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr 
{y^2} - 3y = 2x \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Giải hệ pt đối xứng loại II:

- Trừ hai phương trình vế với vế cho nhau.

- Tìm mối quan hệ của x, y rồi thay vào 1 trong hai phương trình đầu tìm x,y.

Lời giải chi tiết:

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr 
x - y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr 
x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\((I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2x \hfill \cr 
 y = x \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x^2-5x = 0 \hfill \cr 
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr 
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\)

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2(1 - x) \hfill \cr 
y = 1 - x \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - x - 2 = 0 \hfill \cr 
y = 1 - x \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close