Bài 45 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Lời giải chi tiết

Sau 5 giờ, từ công thức S=A.e^rt ta có:

300 = 100.e^5r => 3=e^5r

\( \Leftrightarrow 5r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}\)

Sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là

\(\begin{array}{l}S = A{e^{rt}} = 100{e^{\frac{{\ln 3}}{5}.10}}\\ \Leftrightarrow S = 100{e^{2\ln 3}} = 100{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2}\\ = {100.3^2} = 100.9 = 900\end{array}\)

Khi số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi tức là có \(100.2 = 200\) con

Ta có:

\(\begin{array}{l}200 = 100{e^{\frac{{\ln 3}}{5}t}}\\ \Leftrightarrow 2 = {e^{\frac{{\ln 3}}{5}t}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln 3}}{5}t = \ln 2\\ \Leftrightarrow t = \ln 2:\frac{{\ln 3}}{5}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{5\ln 2}}{{\ln 3}}\end{array}\)

\( \approx 3,15\) giờ = 3 giờ 9 phút.

Loigiaihay.com