Bài 41 trang 73 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Cách 1: 

Giả sử \(∆ABC\) đều, 3 đường trung tuyến AN, BM và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(∆ABC\) 

Vì \(∆ABC\) đều nên 3 đường trung tuyến đồng thời là 3 đường phân giác 

\( \Rightarrow\) G là giao điểm của 3 đường phân giác của \(∆ABC\)

\( \Rightarrow\) \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC\) ( Tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Cách 2:

Giả sử \(∆ABC\) đều có trọng tâm \(G\). Các điểm \(E, N, M\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, AC.\)

\( \Rightarrow GA = \dfrac{2}{3}AN\);  \(GB = \dfrac{2}{3}BM\);  \(GC = \dfrac{2}{3}EC\).

Vì \(∆ABC\) đều nên ba trung tuyến \(AN, BM, CE\) bằng nhau (áp dụng chứng minh bài 29 trang 67 SGK toán 7 tập 2)

\( \Rightarrow GA = GB = GC\)

Xét \(∆AMG\) và \(∆CMG\) ta có:

+) \(GA = GC\) (chứng minh trên)

+) \(AM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))

+) Cạnh \(MG\) chung

Vậy \(∆AMG = ∆CMG\) (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG}=\widehat{CMG}\)

Mà \(\widehat{AMG}+\widehat{CMG} = 180^o \) (\(2\) góc kề bù)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{AMG} = 90^o\) 

\( \Rightarrow GM ⊥ AC\) tức là \(GM\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AC\).

Chứng minh tương tự \(GE, GN\) là khoảng cách từ \(G\) đến \(AB, BC.\)

Mà \(GM =\dfrac{1}{3}BM\); \(GN = \dfrac{1}{3}AN\); \(GE = \dfrac{1}{3}EC\).

Và \(AN = BM = EC\) nên \(GM = GN = GE.\)

Hay \(G\) cách đều ba cạnh của tam giác \(ABC.\)