Bài 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2

Chứng minh định lí

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Gợi ý : Trong \(∆ABC\), nếu \(AD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}\) sao cho \(D{A_1}= AD.\)

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Gọi \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc \(A\) trong \(ΔABC.\)  Ta chứng minh  \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Kéo dài \(AD\) một đoạn \(D{A_1}= AD.\)

Xét \(∆ADC\) và \(∆{A_1}DB\) ta có:

+) \(DC = DB\) (do \(AD\) là trung tuyến)

+) \({ \widehat{D}}_1 = {\widehat{D}}_2 \) (\(2\) góc đối đỉnh)

 +) \(AD = D{A_1}\) (do cách vẽ)

Vậy \(∆ADC =  ∆{A_1}DB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AC = {A_1}B\)( 2 cạnh tương ứng)(1); \(\widehat{DAC}= \widehat{DA_1B}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BAD}= \widehat{DAC}\) (Vì \(AD\) là phân giác của \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow \) \(\widehat{BAD}=\widehat{DA_1B}\)

\(\Rightarrow \) Tam giác \(AB{A_1}\) cân tại \(B\) 

\(\Rightarrow AB = {A_1}B\)           (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \) \(AB = AC\).

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)

Vậy: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân (đpcm)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close