Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng caoChứng minh rằng: Quảng cáo
Đề bài Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right);\,{F_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\) Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {1 \over x},\) ta đều có \(M{F_1}^2 = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2};\) \(M{F_2}^2 = {\left( {x + {1 \over x} - \sqrt 2 } \right)^2}.\) Từ đó suy ra \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Tính \(MF_1, MF_2\) và biến đổi đại số suy ra đpcm. Lời giải chi tiết Giả sử: \(M\left( {x;y} \right) \in \left( H \right)\) thì \(y = {1 \over x}\) hay \(M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - \sqrt 2 - x; - \sqrt 2 - \frac{1}{x}} \right),\) \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {\sqrt 2 - x;\sqrt 2 - \frac{1}{x}} \right)\) \(\eqalign{ Từ đó suy ra: +) Với x > 0 thì \(x + {1 \over x} \ge 2\) (theo bất đẳng thức cô si) Khi đó: \(M{F_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} = x + {1 \over x} - \sqrt 2 \) \(\Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = 2\sqrt 2 .\) +) Với x < 0 thì \(\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} \ge 2 \Rightarrow x + {1 \over x} \le - 2\) Khi đó: \(M{F_1} = - x - {1 \over x} - \sqrt 2 ;\) \(M{F_2} = - x - {1 \over x} + \sqrt 2\) \( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = - 2\sqrt 2 \) Vậy \(|M{F_1} - M{F_2}| = 2\sqrt 2 .\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|