Giải bài 4 trang 18 SGK Hình học 12

LG a

a) Các đoạn thẳng $AF, BD$ và $CE$ đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Do $B, C, D, E$ cách đều $A$ và $F$ nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của $AF$).

Tương tự, $A, B, F, D$ đồng phẳng và $A, C, F, E$ đồng phẳng.

Gọi $I$ là giao của $(AF)$ với $(BCDE)$. Khi đó $B, I, D$ là những điểm chung của hai mặt phẳng $(BCDE)$ và $(ABFD)$ nên chúng thẳng hàng. Tương tự, $E, I , C$ thẳng hàng.

Vậy $AF, BD, CE$ đồng quy tại $I$.

Vì $BCDE$ là hình thoi nên $EC$ vuông góc với $BC$ và cắt $BC$ tại $I$ là trung điểm của mỗi đường. $I$ là trung điểm của $AF$ và $AF$ vuông góc với $BD$ và $EC$, do đó các đoạn thẳng $AF, BD$, và $CE$ đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Cách khác:

Giả sử bát diện đều $ABCDEF$ có cạnh bằng $a.$

$B, C, D, E$ cách đều $A$ và $F$ suy ra $B, C, D, E$ cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AF$

Trong mp $(BCDE)$, ta có $BC = CD = DE = EB (= a)$

$⇒ BCDE$ là hình thoi

$⇒ BD ⊥ EC$ và $BD, EC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra $AF$ và $BD, AF$ và $CE$ vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

LG b

b) $ABFD, AEFC$ và $BCDE$ là những hình vuông.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.

+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

b) Ta có tứ giác $DCBE$ là hình thoi.

Do $AI$ vuông góc $(BCDE)$ và $AB = AC =AD = AE$ nên $IB = IC= ID = IE$.

Từ đó suy ra hình thoi $BCDE$ là hình vuông. Tương tự $ABFD, AEFC$ là những hình vuông.

Cách khác:

Gọi trung điểm $BD, CE, AF là O$.

$\begin{array}{l}BO \bot AO \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \\AO \bot OE \Rightarrow AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \end{array}$

Mà $AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC$

⇒ Hình thoi $BCDE$ là hình vuông.

Chứng minh tương tự: $ABFD, AEFC$ đều là hình vuông.

Loigiaihay.com