Giải bài 2 trang 18 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình lập phương $(H)$. Gọi $(H’)$ là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $(H)$. Tính tỉ số diện tích toàn phần của $(H)$ và $(H’)$.

Lời giải chi tiết

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng $a$. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: $S_1 = 6a^2$

Gọi $M$ là tâm của hình vuông $ABCD$; $Q$ là tâm hình vuông $ADD'A'$; $P$ là tâm hình vuông $ABB'A'$; $N$ là tâm hình vuông $BCC'B'$; $E$ là tâm hình vuông $DCC'D'$ và $F$ là tâm hình vuông $A'B'C'D'$.

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là $8$ lần diện tích tam giác đều $MQE$ (hình vẽ)

Xét tam giác $ACD’$, ta có $M, Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD’$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD’$, do đó $MQ = \displaystyle{1 \over 2}C{\rm{D}}' = \displaystyle{{a\sqrt 2} \over 2}$ 

Ta có ${S_{MQE}} = \displaystyle{1 \over 2}{\left( {\displaystyle{{a\sqrt 2} \over 2} } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 {a^2}} \over 8}$ 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: ${S_2} = 8.\displaystyle{{\sqrt 3 {a^2}} \over 8}  = {a^2}\sqrt 3$

Do đó: $\displaystyle{{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a^2\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3$

Loigiaihay.com