Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Viết phương trình mp(P) đi qua A và ${d_1}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng ${d_1}$ qua ${M_1}\left( { - 2;2;0} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u {  _1} = \left( { - 1;1;2} \right)$.

Mp(P) qua A và ${d_1}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 1;9; - 5} \right)$.
Vậy mp(P) có phương trình: $- \left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 5z = 0$ $\Leftrightarrow x - 9y + 5z + 20 = 0$.

LG b

Viết phương trình mp(Q) đi qua A và ${d_2}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng ${d_2}$ qua ${M_2}\left( { - 5;2;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3; - 1;1} \right)$.

Mp(Q) qua A và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;4;10} \right)$.
Vậy mp(Q) có phương trình: $- 2\left( {x -2} \right) + 4\left( {y - 3} \right) + 10(z-1) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2y - 5z + 9 = 0$

LG c

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả ${d_1}$ và ${d_2}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua A, cắt cả ${d_1}$ và ${d_2}$ nên d nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q), tức là d gồm những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\left\{ \matrix{ x - 9y + 5z + 20 = 0 \hfill \cr  x - 2y - 5z + 9 = 0 \hfill \cr} \right.$.

Đặt x = t ta được hệ

$\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr  y = {{29} \over {11}} + {2 \over {11}}t \hfill \cr  z = {{41} \over {55}} + {7 \over {55}}t \hfill \cr} \right.$.

Đây là phương trình tham số của đường thẳng d, d và ${d_1}$ cùng thuộc mp(P) và có vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.

d và ${d_2}$ cùng thuộc mp(Q) và có các vectơ chỉ phương không cùng phương nên cắt nhau.

LG d

Tính khoảng cách từ A đến ${d_2}$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm A đến ${d_2}$ là: $d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {4 + 16 + 100} } \over {\sqrt {9 + 1 + 1} }} = {{2\sqrt {30} } \over {\sqrt {11} }}$

Loigiaihay.com