Bài 39 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường $y = x{e^{{x \over 2}}},y = 0,x = 0$ và $x = 1$.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Lời giải chi tiết

Ta có: $V  = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x{e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}$.

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

$V = \pi \left( {{x^2}{e^x}\mathop |\nolimits_0^1  - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} } \right)$ $= \pi \left( {e - 2{I_1}} \right)$

Với ${I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx}$. Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Do đó ${I_1} = x{e^x}\mathop |\nolimits_0^1  - \int\limits_0^1 {{e^x}dx = e - {e^x}\mathop |\nolimits_0^1 }$ $= e-e+1=1$.

Vậy $V = \pi \left( {e - 2} \right).$

 Loigiaihay.com