Bài 39 trang 124 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 các tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Hình 105 

Xét \(∆ABH\) và \(∆ACH\) có:

+) \(BH=CH\) (giả thiết)

+) \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)

+) \(AH\) cạnh chung

\( \Rightarrow ∆ABH=∆ACH\) (c.g.c)

Hình 106

Xét \(∆DKE\) và \(∆DKF\) có: 

+) \(\widehat{EDK}=\widehat{FDK}\) (giả thiết)

+) \(DK\) cạnh chung

+) \(\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^o\)

\( \Rightarrow ∆DKE=∆DKF\) (g.c.g)

Hình 107

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆ABD\) và \(∆ACD\) ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0}\;\;(1) \cr
& \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0} \;\;(2)\cr} \)

Mặt khác ta có: 

\(\eqalign{
& \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\;\;(3) \cr
& \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(4) \cr} \)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {CDA}\)

Xét \(∆ABD\) và \(∆ACD\) có:

+) \(\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\)

+) \(AD\) cạnh chung

+) \(\widehat {BDA} = \widehat {CDA}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ABD=∆ACD\) (g.c.g)

Cách khác: 

Xét \(∆ABD\) vuông tại B và \(∆ACD\) vuông tại C, ta có: 

+) \(\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\)

+) \(AD\) cạnh chung

\( \Rightarrow ∆ABD=∆ACD\) (cạnh huyền-góc nhọn)

Hình 108

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆ABD\) và \(∆ACD\) ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0} \;\;(5)\cr 
& \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0}\;\;(6) \cr} \)

Mặt khác ta có: 

\(\eqalign{
& \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết) \;\;(7)\cr 
& \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(8) \cr} \)

Từ (5), (6), (7), (8) suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {CDA}\)

Xét \(∆ABD\) và \(∆ACD\) có:

+) \(\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\) 

+) \(AD\) cạnh chung

+) \(\widehat {BDA} = \widehat {CDA}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ABD=∆ACD\) (g.c.g)

\( \Rightarrow BD=CD\) (hai cạnh tương ứng )

\( \Rightarrow AB=AC\) (hai cạnh tương ứng )

(Hoặc ta có thể chứng minh \( ∆ABD=∆ACD\) theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn) 

Xét \(∆DBE\) và \(∆DCH\) 

+) \( \widehat {EBD} = \widehat {HCD} = {90^0} \) 

+) \(BD=CD\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {BDE} = \widehat {CDH}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow ∆DBE=∆DCH\) (g.c.g)

\( \Rightarrow DE=DH\) (hai cạnh tương ứng)

Xét  \(∆ABH\)  và \(∆ACE \) 

+) \(\widehat A\) chung

+) \(AB=AC\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {ABH} = \widehat {ACE} = {90^0}\)

\( \Rightarrow ∆ABH=∆ACE \) (g.c.g)

\( \Rightarrow AH=AE\) (hai cạnh tương ứng)

Xét  \(∆ADE\)  và \(∆ADH \) 

+) Cạnh \(AD\) chung

+) \(AE=AH\) (chứng minh trên)

+) \(DE=DH\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ADE=∆ADH \) (c.c.c)

Loigiaihay.com