Bài 37 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 37 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng song song \(\Delta_1 \): \(ax+by+c=0\) và \(\Delta_2 \): \(ax+by+d=0\). Chứng minh rằng

LG a

Khoảng cách giữa \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 bằng \( \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);

Lời giải chi tiết:

Lấy \(M(x_0 ; y_0)\) thuộc \({\Delta _1}\), suy  ra \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\). Kí hiệu \(d({\Delta _1} ; {\Delta _2})\)là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Khi đó ta có:

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _2}) = d( M ; {\Delta _2})\)

\(=  \dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =  \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

LG b

Phương trình đường thẳng song song và cách đều \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 có dạng \(ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).

Áp dụng: Cho hai đường thẳng song song có phương trình \(-3x+4y-10=0\) và \(-3x+4y+1=0\). Hãy lập phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng trên.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \({\Delta _3}\) song song với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _3}\) có dạng

\(ax + by + e = 0  (e \ne c, e \ne d)\).

Áp dụng câu a), ta có

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|c - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  ;\)

\(   d({\Delta _2} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|d - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

\({\Delta _3}\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = d({\Delta _2} ; {\Delta _3})\)

\( \Leftrightarrow   |c - e| = |d - e|   \Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}c = d\\e =  \dfrac{{c + d}}{2}\end{array} \right.\)

Trường hợp c=d loại vì \({\Delta _1} \ne {\Delta _2}\).

Vậy phương trình của \({\Delta _3}\) là \(ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).

Áp dụng: Đường thẳng song song và cách đều ha đường thẳng đã cho có phương trình:

\( - 3x + 4y +  \dfrac{{ - 10 + 1}}{2} = 0\) hay \( - 3x + 4y -  \dfrac{9}{2} = 0\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài