Bài 35 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Biết \(\sinα -\cosα =m\), hãy tính \(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

\( = {\rm{ }}\left( {sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha } \right)(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\)

\(= m(1 + sinα cosα)\)         (1)

Từ  \(\sinα – \cosα = m \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {m^2}\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = {m^2}\\
\Leftrightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = {m^2}\\
\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{1 - {m^2}}}{2}\,\,(2)
\end{array}\)

Thay (2) vào (1) ta được:

\({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha  = m(1 + {{1 - {m^2}} \over 2}) \)\(= m.\frac{{3 - {m^2}}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\)

Loigiaihay.com