Bài 35 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Đồ thị hai hàm số $y = {x^2} + 1$ và $y = 3 – x$.

Phương pháp giải:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),$ $x = a,x = b$.

+) B1: Tìm nghiệm $a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b$ của phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = g\left( x \right)$.

+) B2: Tính diện tích theo công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $+ \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $+ ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $+ \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

$= \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$$+ \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$ $+ ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$ $+ \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

${x^2} + 1 = 3 - x$ $\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  x = - 2 \hfill \cr} \right.$

$S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx$ $= \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right|$ $= \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1} \right|$ $= \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}$

Cách khác:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

${x^2} + 1 = 3 - x$ $\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  x = - 2 \hfill \cr} \right.$

Với mọi $x \in \left[ { - 2;1} \right]$ thì ${x^2} + x - 2 \le 0$. Khi đó, $\left| {{x^2} + x - 2} \right| =  - {x^2} - x + 2$

Diện tích cần tìm là:

$S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx$ $= \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)dx}$ $= \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1$ $= \dfrac{7}{6} - \left( { - \dfrac{{10}}{3}} \right) = \dfrac{9}{2}$

LG b

Các đường có phương trình $x = {y^3}$, $y = 1$, và $x = 8$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x = {y^3} \Rightarrow y = {x^{\frac{1}{3}}}$

Diện tích cần tìm là:

$S = \int\limits_1^8 {({x^{{1 \over 3}}} - 1)dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right)} \right|_1^8}$ $= {{17} \over 4}$

Cách khác:

Tung độ giao điểm của đường cong x=y³ và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y³=8 <=> y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:

$S = \int\limits_1^2 {\left| {{y^3} - 8} \right|dy}$$= \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{y^3} - 8} \right)dy} } \right|$  $= \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{y^4}}}{4} - 8y} \right)} \right|_1^2} \right|$ $= \left| { - 12 - \left( { - \dfrac{{31}}{4}} \right)} \right|$$= \left| { - \dfrac{{17}}{4}} \right| = \dfrac{{17}}{4}$

LG c

Đồ thị của hàm số $y = \sqrt x ,y = 6 - x$ và trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

$\eqalign{ & \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr}$

$S = {S_{OAB}} + {S_{ABC}}$ 

$= \int\limits_0^4 {\sqrt x dx}  + \dfrac{1}{2}.AB.AC$$= \int\limits_0^4 {{x^{\dfrac{1}{2}}}dx}  + \dfrac{1}{2}.2.2 = \left. {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right|_0^4 + 2$  $= \dfrac{2}{3}.8 + 2 = \dfrac{{22}}{3}$

Cách khác:

Ta có: y=√x <=> y²=x (y ≥ 0);y=6-x <=> x = 6 – y

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x=y²;x=6-y là nghiệm của phương trình

${y^2} = 6 - y$ $\Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\left( {loai} \right)\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy diện tích cần tìm:

$S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - \left( {6 - y} \right)} \right|dy}$ $= \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{y^2} + y - 6} \right)dy} } \right|$ $= \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{y^3}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{2} - 6y} \right)} \right|_0^2} \right|$ $= \left| { - \dfrac{{22}}{3} - 0} \right| = \dfrac{{22}}{3}$

  Loigiaihay.com