Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Cho số phức ${\rm{w}} =  - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)$. Tìm các số nguyên dương n để ${{\rm{w}}^n}$ là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để ${{\rm{w}}^m}$ là số ảo?

Lời giải chi tiết

Ta có: $\rm{w}  =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i$ $= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}$

Suy ra ${\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}$

${\omega ^n}$ là số thực $\Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 4n = 3k$

$\Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3$

Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

${\rm{w} ^m}$ (m nguyên dương) là số ảo $\Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0$ $\Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 8m = 6k + 3$ (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để ${\rm{w} ^m}$ là số ảo.

Loigiaihay.com