Bài 32 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $\sin 4\varphi$ và $\cos 4\varphi$ theo các lũy thừa của $\sin \varphi$ và $\cos \varphi$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\cos 4\varphi  + i\sin 4\varphi  = {\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^4}$

$\eqalign{  &  = {\cos ^4}\varphi  + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi } \right)\left( {i\sin \varphi } \right) \cr &+ 6\left( {{{\cos }^2}\varphi } \right)\left( {{i^2}} \right){\sin ^2}\varphi  \cr &+ 4\left( {\cos \varphi } \right)\left( {{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right) \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi   \cr  &  = {\cos ^4}\varphi  - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi  + {\sin ^4}\varphi  \cr &+ \left( {4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi  - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \right)i. \cr}$

Từ đó: $\cos 4\varphi  = {\cos ^4}\varphi  - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi  + {\sin ^4}\varphi$

$\sin 4\varphi  = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi  - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi$

 Loigiaihay.com