Bài 31 trang 75 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là \(\dfrac{15}{17}\) và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là \(12,5 cm\). Tính hai cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) và \(AB-A'B'=12,5 cm\).(1)

Vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) (giả thiết) nên ta có: 

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}} \)\(\,= \dfrac{{A'B' + B'C' + C'A'}}{{AB + BC + CA}}\)\(\, = \dfrac{{{C_{A'B'C'}}}}{{{C_{ABC}}}} = \dfrac{{15}}{{17}}\)

(với \(C_{ABC}\) và \(C_{A'B'C'}\) lần lượt là chu vi của hai tam giác \(ABC, A'B'C'\)) 

Do đó, \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{15}}{{17}}\) 

\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} =\dfrac{{17}}{{15}}\Rightarrow AB =\dfrac{{17}}{{15}}.A'B' \) (2)

Từ (1) và (2), ta có: \(\dfrac{{17}}{{15}}.A'B'  - A'B' = \dfrac{{2}}{{15}}.A'B' = 12,5\) cm

\( \Rightarrow A'B' = 12,5:\dfrac{{2}}{{15}} = 12,5 . \dfrac{{15}}{{2}} = 93,75\,cm\)

Lại có: \(AB - A'B' = 12,5\,cm\) \(\Rightarrow AB = 12,5 + 93,75 = 106,25\,\,cm.\)