Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng cao

Chứng minh các hệ thức sau

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các hệ thức sau

LG a

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đường tròn lượng giác và định lí Pitago trong tam giác vuông để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vẽ nửa đường tròn lượng giác (O; 1).

Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.

Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên OM=1.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = y_0^2 + x_0^2\\
= O{E^2} + O{F^2} = M{F^2} + O{F^2}\\
= O{M^2} = {1^2} = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1
\end{array}\)

Cách khác:

TH1: \(\alpha  = {0^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}0^0 + {\cos ^2}0^0 \) \(=0^2+1^2= 1\)

TH2: \(\alpha  = {180^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}180^0 + {\cos ^2}180 ^0\) \(=0^2+(-1)^2= 1\)

TH3: \(0^0 < \alpha  < {90^0}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đặt \(\widehat B = \alpha \) có:

\(\sin \alpha  = \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}},\) \(\cos \alpha  = \cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  \) \(= {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\)

TH4: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\).

\( \Rightarrow {0^0} < {180^0} - \alpha  < {90^0} \)

\(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right)=1\) (áp dụng TH3)

\( \Rightarrow  {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \cos \alpha } \right)^2} =1\) (vì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha ,\) \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \))

\(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Vậy ta có đpcm.

LG b

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha  \ne {90^0})\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} \)

\(= {{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\)

LG c

\(1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha  < {180^0})\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} \)

\(= {{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close