Bài 3 trang 34 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng với điểm \(M\) bất kì, ta có

\(\overrightarrow {MO}  = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} ).\)

Lời giải chi tiết

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC, BD\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \,,\,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \,.\) 

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \cr&= \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} \cr 
& = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow {MO} = {1 \over 4}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} ). \cr} \)

Cách khác:

Vì O là trung điểm của AC, BD nên:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \\
\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\
= 2\overrightarrow {MO} + 2\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \\
\left( {dpcm} \right)
\end{array}\)

Loigiaihay.com