Bài 28 trang 67 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(DEF\) cân tại \(D\) với đường trung tuyến \(DI\).

a) Chứng minh \(∆DEI  = ∆DFI.\)

b) Các góc \(DIE\) và góc \(DIF\) là những góc gì?

c) Biết \(DE = DF = 13\,cm,\) \(EF = 10\,cm,\) hãy tính độ dài đường trung tuyến \(DI.\)

Lời giải chi tiết

a) Cách 1:

Xét \(∆DEI\) và \(∆DFI\) có:

+) \(DE = DF\) (vì \( ∆DEF\) cân tại \(D\))

+) \(\widehat{DEI}=\widehat{DFI}\) (vì \( ∆DEF\) cân tại \(D\))

+) \(IE = IF\) ( vì \(DI\) là trung tuyến)

Vậy \(∆DEI  = ∆DFI\) (c.g.c)

Cách 2:

Xét \(∆DEI\) và \(∆DFI\) có:

+) \(DI\) là cạnh chung

+) \(DE = DF\) (vì \( ∆DEF\) cân tại \(D\))

+) \(IE = IF\) ( vì \(DI\) là trung tuyến)

Vậy \(∆DEI  = ∆DFI\) (c.c.c)

b) Vì  \(∆DEI  = ∆DFI\) (theo câu a) nên \(\widehat{DIE} =\widehat{DIF}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{DIE} +\widehat{DIF} = 180^o\) ( hai góc kề bù)

\(\Rightarrow \) \(\widehat{DIE} =\widehat{DIF}\)\(=\dfrac{180^0}{2}= 90^o\) 

Vậy các góc \(DIE\) và góc \(DIF\) là những góc vuông.

c) \(I\) là trung điểm của \( EF\) nên \(IE = IF =\dfrac{{EF}}{2} = \dfrac{{10}}{2}= 5\,cm.\)

Áp dụng định lí Pytago vào \(∆DEI\) vuông tại \(I\) (do theo câu b góc \(DIE\) vuông) ta có: 

\(\eqalign{
& D{E^2} = D{I^2} + E{I^2} \cr
& \Rightarrow D{I^2} = D{E^2}-E{I^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,D{I^2}\, = {13^2}-{5^2} = 144 \cr
& \Rightarrow DI = 12\,\,cm \cr} \)