Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng

Quảng cáo

Đề bài

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\).  Chứng minh rằng

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích vế trái hoặc vế phải (dựa vào quy tắc 3 điểm) làm xuất hiện các vecto ở vế còn lại.

Sử dụng tính chất trung điểm: I là trung điểm AB thì \( \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} =\overrightarrow {0} \) và \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} =2 \overrightarrow {MI} \)

Lời giải chi tiết

Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0 \)

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)  = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr 
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr 
&  = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)  = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)

Vậy \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} .\)

Cách khác:

Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \))

Lại có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close