Bài 21 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC với AB < AC. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính AO, cắt AB, AC lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng.

b) Tia OH và OK lần lượt cắt các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O tại D và E. Chứng minh rằng BD + CE = DE và BD.CE = R².

c) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của OD và OE. Chứng minh tứ giác APOQ nội tiếp.

d) Biết BD = 4 cm, EC = 6 cm. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có $\widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác AHOK có: $\widehat {HAK} = \widehat {AHO} = \widehat {AKO} = {90^0} \Rightarrow$ Tứ giác AHOK là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

$\Rightarrow$ Hai đường chéo AO và HK cắt nhau tại trung điểm đường. Mà I là trung điểm của AO (gt) $\Rightarrow I$ cũng là trung điểm của HK. Vậy H, I, K thẳng hàng.

b) +) Ta có:

$\widehat {DAB} = \widehat {AOH}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AH).

$\widehat {EAC} = \widehat {AOK}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AK).

$\Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {HAK} + \widehat {EAC}$$\, = \widehat {AOH} + \widehat {HAK} + \widehat {AOK}$$\,= \widehat {HAK} + \widehat {HOK} = {180^0}$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) $\Rightarrow D;A;E$ thẳng hàng.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $BD = AD;\,\,CE = AE$

$\Rightarrow BD + CE = AD + AE$. Mà D; A; E thẳng hàng (cmt) $\Rightarrow AD + AE = DE$. Vậy $BD + CE = DE$.

+) Ta có: $BD.CE = AD.AE$.

Ta có: $\widehat {DAO} = \widehat {AKO}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AO).

Mà $\widehat {AKO} = {90^0}$ (AHOK là hình chữ nhật) $\Rightarrow \widehat {DAO} = {90^0} \Rightarrow AO \bot DE$ tại A.

$\widehat {HOK} = {90^0}$ (AHOK là hình chữ nhật) $\Rightarrow \Delta DOE$ vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có : $AD.AE = A{O^2} = {R^2}$.

Vậy BD.CE = R².

c) Xét tam giác vuông OAD có AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền OD $\Rightarrow PA = PO = PD \Rightarrow \Delta PAO$ cân tại P $\Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {PAO}$.

Chứng minh tương tự ta có : $\widehat {QOA} = \widehat {QAO}$.

$\Rightarrow \widehat {PAQ} = \widehat {PAO} + \widehat {QAO}$$\,= \widehat {POA} + \widehat {QOA} = \widehat {POQ} = {90^0}$.

Xét tứ giác APOQ có: $\widehat {POQ} + \widehat {PAQ} = {90^0} + 90 = {180^0} \Rightarrow$ Tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

d) Gọi O’ là trung điểm của DE. Vì $\Delta ODE$ vuông tại O nên O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DOE bằng $\dfrac{{DE}}{2}$.

Mà $DE = BD + CE = 4 + 6 = 10\,\,\left( {cm} \right)$

$\Rightarrow R = \dfrac{{DE}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)$.

 Loigiaihay.com