Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

${1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);$     

Lời giải chi tiết:

${1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^{2\alpha }} + {a^{ - \alpha }}.{a^\alpha } - 2{a^\alpha } = 0\\ \Leftrightarrow {a^{2\alpha }} + 1 - 2{a^\alpha } = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha }} \right)^2} - 2{a^\alpha } + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha } - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^\alpha } - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {a^\alpha } = 1(*) \end{array}$

- Nếu $a \ne \,1$ thì (*) $\Leftrightarrow  \alpha  = 0$

- Nếu $a = 1$ thì (*) $\Leftrightarrow \alpha$ là số thực tùy ý.

Cách khác:

${1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{\alpha }{2}}}} \right)^2} - 2.{a^{\frac{\alpha }{2}}}.{a^{ - \frac{\alpha }{2}}} + {\left( {{a^{ - \frac{\alpha }{2}}}} \right)^2} = 1$

$\Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha  \over 2}}} - {a^{ - {\alpha  \over 2}}}} \right)^2} = 0$

$\Leftrightarrow {a^{{\alpha  \over 2}}} - {a^{ - {\alpha  \over 2}}}=0$

$\Leftrightarrow {a^{{\alpha  \over 2}}} = {a^{ - {\alpha  \over 2}}}$(*)

- Nếu $a \ne \,1$ thì (*) $\Leftrightarrow {\alpha  \over 2} =  - {\alpha  \over 2} \Leftrightarrow \alpha  = 0$

- Nếu $a = 1$ thì (*) $\Leftrightarrow \alpha$ là số thực tùy ý.

LG b

${3^{\left| \alpha  \right|}} < 27.$

Phương pháp giải:

Sử dụng so sánh: Nếu a > 1 thì ${a^m} < {a^n} \Leftrightarrow m < n$

Lời giải chi tiết:

${3^{\left| \alpha  \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha  \right|}} < {3^3}$

$\Leftrightarrow \left| \alpha  \right| < 3$ (vì 3 > 1)

$\Leftrightarrow  - 3 < \alpha  < 3.$

Loigiaihay.com