Bài 16 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Vì viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng hướng lên trên nên \(a =  - 9,8\)

\( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( { - 9,8} \right)dt} \) \( =  - 9,8t + C\).

\(v\left( 0 \right) = 25\) \( \Rightarrow  - 9,8.0 + C = 25\) \( \Leftrightarrow C = 25\)

\( \Rightarrow v\left( t \right) =  - 9,8t + 25\)

\( \Rightarrow S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \) \( = \int {\left( { - 9,8t + 25} \right)dt} \) \( =  - 9,8.\dfrac{{{t^2}}}{2} + 25t + C\) \( =  - 4,9{t^2} + 25t + C\)

Do viên đạn được bắn lên từ mặt đất nên \(S\left( 0 \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - 4,{9.0^2} + 25.0 + C = 0\) \( \Leftrightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow S\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 25t\) \( =  - 4,9\left( {{t^2} - \dfrac{{25}}{{4,9}}t + {{\left( {\dfrac{{12,5}}{{4,9}}} \right)}^2}} \right) + \dfrac{{3125}}{{98}}\) \( = \dfrac{{3125}}{{98}} - 4,9{\left( {t - \dfrac{{12,5}}{{4,9}}} \right)^2}\) \( \le \dfrac{{3125}}{{98}}\)

\( \Rightarrow {S_{\max }} = \dfrac{{3125}}{{98}}\) khi \(t = \dfrac{{12,5}}{{4,9}} \approx 2,55\left( s \right)\).

Vậy sau \(2,55s\) viên đạn đạt độ cao lớn nhất.

Cách khác:

Gọi v(t) là vận tốc của viên đạn. Ta có   

Suy ra \(v\left( t \right) =  - 9,8t + C.\)

Vì \(v(0)=25\) nên suy ra \(C=25\)

Vậy \(v\left( t \right) =  - 9,8t + 25.\)

Gọi T là thời điểm viên đạn đạt tốc độ cao nhất, tại đó vận tốc viên đạn có vận tốc bằng 0 (S đạt cực đại tại điểm \(t=t_0\) thì S' tại đó bằng 0)

Vậy \(v(T)=0\) suy ra \(T = {{25} \over {9,8}} \approx 2,55\,\) (giây).

LG b

Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.

Lời giải chi tiết:

Theo câu a, tại thời điểm \(t \approx 2,55s\) thì \({S_{\max }} = \dfrac{{3125}}{{98}}\) nghĩa là viên đạn đi được quãng đường \(S = \dfrac{{3125}}{{98}}\left( m \right)\).

Tuy nhiên viên đạn còn rơi xuống đúng một quãng đường như vậy đến khi chạm đất nên quang đường viên đạn đi được cho đến khi chạm đất là \(2S = 63,78\left( m \right)\).

Cách khác:

Quãng đường viên đạn đi được cho tới thời điểm \(T=2,55\) (giây) là:

\(S = \int\limits_0^T {\left( { - 9,8t + 25} \right)dt}  \) \(=  - 9,8{{{T^2}} \over 2} + 25T \approx 31,89\,\left( m \right)\)

Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi là xuống đất là \(2S = 63,78\left( m \right).\)

 Loigiaihay.com