Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC' = \sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\frac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi AC giao BD tại O; E là hình chiếu vuông góc của A lên OC’.

\(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\\AA' \bot (ABCD) \Rightarrow AA' \bot BD\end{array} \right\}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot (ACC'A')\\BD \subset (BDC')\end{array} \right\}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow (BDC') \bot (ACC'A')\\(BDC') \cap (ACC'A') = OC'\\AE \bot OC'\\AE \subset (ACC'A')\end{array} \right\}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AE \bot (BDC')\\AB'//DC'\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {AB',(BDC')} \right)\)

\( = d\left( {A,(BDC')} \right) = AE\).

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương có đường chéo bằng \(\sqrt 3 \), do đó cạnh của hình lập phương bằng 1.

\({V_{ABDC'}} = \frac{1}{3}.CC'.{S_{ABD}} \)

\(= \frac{1}{3}.1.\frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{6}\).

Tam giác BDC’ là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 2 \) nên ta có \({S_{BDC'}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \({V_{ABDC'}} = \frac{1}{3}.AE.{S_{BDC'}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.AE.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {AB',BC'} \right) = AE = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).