Bài 1.33 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1;\)                       

b) \(y = \sin x + \cos x\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Vì \( - 1 \le \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le 2{\rm{cos\;}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\;\; \Leftrightarrow  - 3 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 < 1\)

\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\) là \(T = \left[ { - 3;1} \right]\).

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \sin x + \cos x\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \alpha \\ = 2\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2} - \alpha  + \alpha }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{2} - \alpha  - \alpha }}{2}} \right)\\ = 2.\cos \frac{\pi }{4}.\cos \frac{{\frac{\pi }{2} - 2\alpha }}{2}\\ = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\\ = \sqrt 2 .\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2  \le \sqrt 2 .\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) \le \sqrt 2 \).

Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x + \cos x\) là \(T = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).