Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ suy ra tâm I(a;b;c) bán kính R.

Hoặc mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm I(a;b;c) bán kính R=$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + {z^2} = 16 \cr  & \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16 \cr}$

Mặt cầu có tâm $I\left( {4; - 1;0} \right)$ và có bán kính R = 4.

Cách khác:

Ta có: a=4,b=-1,c=0,d=1 và $R = \sqrt {16 + 1 + 0 - 1}  = 4$.

Vậy tâm $I\left( {4; - 1;0} \right)$ và có bán kính R = 4.

LG b

$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\eqalign{ & 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0 \cr  & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y + 5z - {2 \over 3} = 0 \cr  & \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z + {5 \over 2}} \right)^2} = {{49} \over 6} \cr}$

Mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)$ và có bán kính $R = {{7\sqrt 6 } \over 6}$.

Cách khác:

Ta có: a=-1,b=1/2,c=-5/2,d=-2/3 và $R = \sqrt {1 + \frac{1}{4} + \frac{{25}}{4} + \frac{2}{3}}  = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}$.

Vậy tâm $I\left( { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)$ và có bán kính $R = {{7\sqrt 6 } \over 6}$.

LG c

$9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0 \cr  & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - {2 \over 3}x + 2y + {1 \over 9} = 0 \cr  & \Leftrightarrow {\left( {x - {1 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \cr}$

Mặt cầu có tâm $I\left( {{1 \over 3}; - 1;0} \right)$ và có bán kính R = 1.

Cách khác:

Ta có: a=1/3,b=-1,c=0,d=1/9 và $R = \sqrt { \frac{1}{9} +1+0- \frac{{1}}{9}}  =1$.

Vậy tâm $I\left( {{1 \over 3}; - 1;0} \right)$ và có bán kính R = 1.

Loigiaihay.com