Bài 10 trang 59 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(∆ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là điểm thuộc cạnh đáy \(BC\), ta chứng minh \(AM ≤ AB; AM ≤ AC\).

- Nếu \(M  ≡ B\) hoặc \(M  ≡  C\) ( Kí hiệu \(≡\) đọc là trùng với) thì \(AM = AB, AM = AC\).

- Nếu \(M\) nằm giữa \(B\) và \(C\); ( \(M\) khác  \(B , C\)). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), mà \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(AH ⊥ BC\).

+ Nếu \(M ≡ H\) \(\Rightarrow \) \(AM ⊥ BC\) \(\Rightarrow \) \(AM < AB\) và \(AM < AC\) (đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên) 

+ Nếu \(M\) \(\not\equiv\)  \(H\), giả sử \(M\) nằm giữa \(H\) và \(C\) \(\Rightarrow \) \(MH < CH \Rightarrow MA < CA\) (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn)

Mà \(CA=BA\) \(\Rightarrow \) \(MA < BA\).

Chứng minh tương tự nếu \(M\) nằm giữa \(H\) và \(B\) thì \(MA < AB, MA < AC\)

Vậy mọi vị trí của \(M\) trên cạnh đáy \(BC\) thì \(AM ≤  AB, AM ≤  AC\).