a) Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AEC\), có:

\(\widehat A\): chung

\(AB = AC\)(vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)(vì \(BD \bot AC\)tại \(D\), \(CE \bot AB\) tại \(E\))

Suy ra \(\Delta ADB = \Delta ACE\)(cạnh huyền-góc nhọn).

Suy ra\(AD = AE\)(2 cạnh tương ứng).

Vậy \(\Delta ADE\)cân tại \(A\).

b) Vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\) (gt)

Ta có: \(\widehat {ABC} = \frac{{{{180}^{\rm{o}}} - \widehat A}}{2}\) (1)

Lại có: \(\Delta AED\) cân tại \(A\) (câu a)

Nên \(\widehat {AED} = \frac{{{{180}^{\rm{o}}} - \widehat A}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {AED}\) và \(\widehat {ABC}\) ở vị trí đồng vị.

Vậy \(DE//BC\).

c) Có tia \(BD\) nằm giữa hai tia \(BA,BC\).

Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ABC}\)

Suy ra \(\widehat {DBC} = \widehat {ABC} - \widehat {ABD}\)

Tương tự, có:

\(\widehat {ECB} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))

\(\widehat {ADB} = \widehat {ACE}\) (vì \(\Delta ADB = \Delta AEC\))

Suy ra \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\)

Vậy \(\Delta IBC\) cân tại \(I\).

Suy ra \(IB = IC\)

d) Có: \(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))

Do đó\(A\) thuộc đường trung trực của \(BC\)

Lại có: \(IB = IC\)(câu c)

Suy ra \(I\) thuộc đường trung trực của \(BC\)

Suy ra \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)

Suy ra \(AI \bot BC\).