Cách giải :

- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là : \(\left\{ \begin{array}{l}{\omega _1} = \sqrt {\dfrac{{{k_1}}}{m}} = \sqrt {\dfrac{{100}}{m}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt m }}\\{\omega _2} = \sqrt {\dfrac{{{k_2}}}{m}} = \sqrt {\dfrac{{25}}{m}} = \dfrac{5}{{\sqrt m }}\end{array} \right. \Rightarrow {\omega _1} = 2{\omega _2}\)

- Lò xo k₁ có chiều dài tự nhiên l₁= 35cm. Lò xo k₂có chiều dài tự nhiên l₂ = 26cm

→ Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : \(35 – 26 = 9cm\)

- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo k₁ dãn một đoạn 3cm, lò xo k₂ nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà. Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo k₁.

→ Phương trình dao động điều hoà của hai vật : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\cos \left( {{\omega _1}t} \right) = 3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right)\\{x_2} = - 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t + \pi } \right) = - 9 - 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)\end{array} \right.\)

→ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là : \(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right|\)

Vì :

\(\begin{array}{l}\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) = 2{\cos ^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1 \Rightarrow \Delta x = \left| {3\left( {2{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right|\\ \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right) + 6} \right|\end{array}\)

Đặt : \(a = \cos \left( {{\omega _2}t} \right) \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{a^2} + 6a + 6} \right|\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}6.{a^2} + 6a + 6 = 6\left( {{a^2} + a + 1} \right) = 6\left( {{{\left( {a + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right) = 6.{\left( {a + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4,5\\6.{\left( {a + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \le 4,5 \Rightarrow {\left( {6.{a^2} + 6a + 6} \right)_{\min }} = 4,5\\ \Rightarrow \Delta {x_{\min }} = 4,5cm\end{array}\)

→ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là : \({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta x_{\min }^2} = \sqrt {{9^2} + 4,{5^2}} = 10,06cm\)