Trả lời phần câu hỏi ôn tập chương 2 phần Đại số trang 61 SGK toán 8 tập 1

Câu 1

Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là một phân thức đại số không ? Một số thực bất kì có phải là một phân thức đại số không ? 

Lời giải chi tiết:

- Phân thức đại số ( phân thức ) là một biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A, B$ là những đa thức $B ≠ 0, A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức. 

- Một đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

- Một số thực bất kì cũng là một phân thức đại số. 

Câu 2

Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu: $AD = BC$

Ta viết: $\dfrac{A}{B}=  \dfrac{C}{D}$ nếu $AD = BC$. 

Câu 3

Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số. 

Lời giải chi tiết:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. 

$\dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}$ ( $M$ là một đa thức khác đa thức $0$)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}$ ( $N$ là một nhân tử chung)

Câu 4

Nêu qui tắc rút gọn một phân thức đại số. Hãy rút gọn phân thức $\dfrac{{8x - 4}}{{8{x^3} - 1}}$

Lời giải chi tiết:

Qui tắc rút gọn một phân thức đại số.

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Rút gọn: 

$\begin{array}{l} \dfrac{{8x - 4}}{{8{x^3} - 1}} = \dfrac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x} \right)}^3} - {1^3}}}\\ = \dfrac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{4}{{4{x^2} + 2x + 1}} \end{array}$

Câu 5

Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau làm thế nào ?

Hãy qui đồng mẫu thức của hai phân thức: $\dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}$ và $\dfrac{3}{{5{x^2} - 5}}$

Lời giải chi tiết:

- Muốn qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

    + Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

    + Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

    + Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

- Quy đồng mẫu hai phân thức trên:

Ta có:

$\begin{array}{l} {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ 5{x^2} - 5 = 5\left( {{x^2} - 1} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Rightarrow MTC = 5{\left( {x + 1} \right)^2}.\left( {x - 1} \right) \end{array}$

Nhân tử phụ thứ nhất: $5\left( {x - 1} \right)$

Nhân tử phụ thứ hai: $x+1$

Quy đồng: 

$\begin{array}{l} \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x.5\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.5\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{5x\left( {x - 1} \right)}}{{5{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}\\ \dfrac{3}{{5{x^2} - 5}} = \dfrac{3}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}} \end{array}$

Câu 6

Phát biểu các qui tắc: Cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân thức khác mẫu thức. Làm tính cộng: $\dfrac{{3x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

- Qui tắc cộng hai phân thức cùng mẫu:

    Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

- Qui tắc cộng hai phân thức khác mẫu:

    Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

- Làm tính cộng:  

$\begin{array}{l} \dfrac{{3x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\\ = \dfrac{{3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3x + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3x + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3x + {x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}} \end{array}$ 

Câu 7

Hai phân thức như thế nào được gọi là hai phân thức đối nhau ? Tìm phân thức đối của phân thức $\dfrac{{x - 1}}{{5 - 2x}}$

Lời giải chi tiết:

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 

Phân thức đối của phân thức $\dfrac{A}{B}$ được kí hiệu là $-\dfrac{A}{B}$

- Phân thức đối của phân thức $\dfrac{{x - 1}}{{5 - 2x}}$ là phân thức $-\dfrac{{x - 1}}{{5 - 2x}}=\dfrac{{x - 1}}{{2x - 5}}$

Câu 8

Phát biểu qui tắc trừ hai phân thức đại số. 

Lời giải chi tiết:

Quy tắc: Muốn trừ phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$, ta cộng $\dfrac{A}{B}$ với phân thức đối của $\dfrac{C}{D}$ 

Vậy: $\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { - \dfrac{C}{D}} \right)$.

Câu 9

Phát biểu qui tắc nhân hai phân thức đại số. 

Lời giải chi tiết:

Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}$ (với $B, D \ne 0$)

Câu 10

Cho phân thức $\dfrac{A}{B}$ khác $0$, viết phân thức nghịch đảo của nó.

Lời giải chi tiết:

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{A}{B}$ khác $0$ là $\dfrac{B}{A}$.

Câu 11

Phát biểu qui tắc chia hai phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

Quy tắc: 

Muốn chia phân thức $\dfrac{A}{B}$ cho phân thức $\dfrac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân $\dfrac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo $\dfrac{C}{D}$:

$\dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}$ với $\dfrac{C}{D} ≠ 0$.

Câu 12

Giả sử $\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}$ là một phân thức của biến $x$. Hãy nêu điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định.

Phương pháp giải:

Phân thức xác định khi mẫu thức khác $0$.

Lời giải chi tiết:

Phân thức được xác định khi biến $x$ thỏa mãn $B(x) ≠ 0.$